杨辉（南宋数学家）

杨辉简介

杨辉生平：杨辉（约1238～约1298），字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋数学家。杨辉与秦九韶、李治、朱世杰并称“宋元数学四大家”。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。

历史评价：杨辉除上文提到的成就外，还分别写了《日用算法》《乘除通变本末》和《田亩比类乘除捷法》等书，这为后世的人们了解当时的数学学科提供了极为重要的资料。杨辉的几部著作极大地丰富了中国古代数学宝库，为数学科学的发展做出了卓越的贡献，他不愧为“宋元四大数学家”之一。

杨辉大事记：

1238年　杨辉出生。

1274年　杨辉完成《乘除通变本末》3卷，与其他人合作第3卷。

1275年　杨辉与他人合编《续古摘奇算法》2卷。

约1298年　杨辉去世。

人物关系：

杨辉传记

杨辉成就 其中轶事

杨辉与秦九韶、李治、朱世杰并称“宋元数学四大家”。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。说起杨辉的这一成就，还得讲一件小事。

一天，作为台州府地方官的杨辉出外巡游，前面铜锣开道，后面衙役殿后，中间抬着大轿，好不威风。走着走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的大声喊叫声，接着传来衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报：“孩童不让道，说等他把题目算完后才让走，要不就得绕其他路。”

杨辉一看来了兴致，连忙下轿抬步，来到前面。衙役急忙说：“是不是把这孩童轰走？”杨辉摸着孩童头说：“为何不让本官从此处经过？”

孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我就演算不出原来那样了。”

▲《大戴礼记》书影

“什么算式？”

“就是把1～9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15。我们先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。”

杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个题目似曾相识。仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼记》书中所写的文章中提及的。

杨辉兴致勃勃地和孩童一起算了起来。直到天已过午，两人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是15，这才站了起来。

孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁您的时间了，请您到我家吃饭吧！”

杨辉一听，说：“好，好，下午我也去见见你先生。”

孩童望着杨辉，十分伤心，杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底是怎么回事？”

孩童这才一五一十把原因道出。原来这孩童并未上学，他家境贫苦，哪有钱读书。而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，才想要认真做出来。

杨辉听到此处，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易。他便对孩童说：“这是十两银子，你拿回家去吧。下午你到学校去，我在那儿等你。”

下午，杨辉带着孩童找到先生，把这孩童的情况向先生说了一遍。又掏出银两，给孩童交了学费，孩童一家感激不尽。自此，这孩童这才有了真正的先生。

教书先生对杨辉的为人非常敬佩，于是两人谈论起数学。杨辉说道：“方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼记》书中的？”

那先生笑着说：“是啊，《大戴礼记》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题。”

教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。’”

杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”

教书先生也说不出来。杨辉回到家中，茶饭不思，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现一条规律。

他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。

举一反三，杨辉又按这个规律得到了“花16图”，就是从1～16的数字排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为34。后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”“易数图”“九九图”“百子图”等许多类似的图。

古代著名数学家及成就

刘徽：《九章算术注》

赵爽：《周髀算经》

祖冲之：精确圆周率

张丘建-：《张丘建算经》

朱世杰：《四元玉鉴》

贾宪：《黄帝九章算经细草》

秦九韶：《数书九章》

李冶：《测圆海镜》——开元术

杨辉：杨辉三角

杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，流传后世。

▲杨辉三角

杨辉三角 流传至今

杨辉除此成就之外，还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”。

有一次杨辉得到一本北宋数家贾宪写的《黄帝九章算法细草》，这里面记载了不少数学成就，如贾宪描画了一张图，叫作“开方作法本源图”。

图中的数字排列成一个大三角形，位于两腰上的数字均是1，其余数字则等于它上面两数字之和。从第二行开始，这个大三角形的每行数字，都对应于一组二项展开式的系数，下面试举例说明：在第三行中，1、3、3、1，这4个数字恰好是对应于（X+1）3=X3+3X2+3X+1；再如第四行对应于（X+1）4=X4+4X3+6X2+4X+1。以此类推。

杨辉把贾宪的这张画详细地记录下来，并保存在自己的《详解九章算术》一书中。由于他在著作里提及过贾宪对二项展开式的研究，所以“贾宪三角”又名“杨辉三角”。这比欧洲于17世纪的同类型的研究“帕斯卡三角形”早了差不多五百年。后来人们发现，这个大三角形不仅可以用来开方和解方程，与组合、高阶等差级数、内插法等数学知识都密不可分。