朱世杰（元代数学家）

朱世杰简介

朱世杰生平：朱世杰（1249～1314），字汉卿，号松庭，燕山（今北京）人，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉，与秦九韶、杨辉、李治并称“宋元数学四大家”。在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。主要著作为《算学启蒙》与《四元玉鉴》。

历史评价：他善于进行几何学的研究，善于深入到集合图形内部解决问题。我国几何学的发展由来已久，但是自《九章算术》以来的几何学，无论是平面几何还是立体几何，几乎都离不开勾股、面积和体积。朱世杰在前人研究的基础上，深入研究勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了几何学中的两个重大定理——射影定理和弦幂定理。这两大定理的发展，使得人们的研究从图形整体深入到了几何内部，拓宽了几何学的研究领域。朱世杰的数学思想无论在当时还是后代都是很先进的，他杰出的著作《四元玉鉴》和《算学启蒙》都是数学史上的里程碑作品。但是由于历史的局限性，他也未能突破一些思想的限制，以至于他的数学思想也有不完善的地方。他在求解高次方程时，同以前的数学家一样只求一个正根，而没有考虑到负根。

朱世杰大事记：

1249年 出生。

1299年 著成《算学启蒙》。

1303年 著成《四元玉鉴》。

1314年 去世。

人物关系：

朱世杰传记

潜心研究 终就大作

▲杨辉（约1238~约1298），南宋数学家

元朝灭南宋后，建立了统一的元帝国。朱世杰游历四方，从事教学，以数学名家的身份来到南方，并结识了许多数学大家。这时慕名到他门下求学的人自然是络绎不绝。他对前来向他请教的学生来者不拒，对自身的要求精益求精。他讲课由浅入深、深入浅出、循循善诱，使得不同程度的学生听课后都学有所获。他在潜心学术的过程中，也接触到南方的不少算书，比如秦九韶的《数学九章》和杨辉的多种算书，并深受李治的《测圆海镜》的影响。同时他还注意继承前人的研究成果，认真学习了李德载的二元术和刘大鉴的三元术，这为他写成四元术的《四元玉鉴》鉴定了坚实的基础。此外，他还吸收借鉴北方的天元术，学习南方的正负开方术，在此基础上进行研究，最终写成了《算学启蒙》（1299年在扬州刊刻）、《四元玉鉴》（1303年刊刻）。《算学启蒙》共分3卷，20 门，259 问，由浅入深，循序渐进，从最简单的一位数的乘法开始，一直延伸到当时的最新成果——天元术，囊括了各类乘除法歌诀、各类面积和体积以及算术问题，还有分数运算、垛积法、盈不足术，内容完整，体系呈现系统性。《四元玉鉴》分为3卷，24门，共288 问，都与多元高次方程组的建立和求解方法有关，并且以歌谣形式提出一些问题，形式新颖，通俗易懂。其中有关四元方程组的问题有7个，三元方程组的有13个，二元的有36个。由于在成书过程中朱世杰受到了秦九韶和李治的影响，所以书中给出了多元高次方程组的消元方法和用正负开方术求数值解的方法。一些日用算法、商用算法和通俗歌诀也被朱世杰在书中采纳。

▲《算学启蒙》书影

学理性与应用性相结合

朱世杰对天元术的研究，目的是为了解决实际问题，但是从李治开始，对数学的研究已经突破了应用的局限。朱世杰跟随前人的脚步继续研究，所以他的方程理论也是具有更加纯粹的数学性质。他用天元术导出了高达10次的方程。这在生活中是用不到的，远远超过了实际生活的需要。当然，朱世杰对数学的研究也十分重视数学理论的实际应用。他研究的很多问题都与当时的社会经济有密切的关系。比如，在《算学启蒙》中，“留头乘法门”中有地价、水稻的单位面积产量以及各种商品的物价，“库务解税门”中有税法、税率等问题，这些都是在现实生活中经常遇到的问题。除此之外，朱世杰还用天元术解决了平面几何及立体几何中的大量问题，并导出许多高次方程。

▲《四元玉鉴》书影

四元术

古代一种四次多元方程组解法，即近代多元高次方程组的分离系数表示法。元成宗大德七年（1303年），朱世杰撰成《四元玉鉴》一书，为传统四元术之代表著作。朱世杰以天、地、人、物四元表示四元高次方程组，其求解方法和解方程组的方法基本一致，早于法国数学家别朱(Bezout)于1775年才系统提出的消元法近500年，领先于世界，是我国数学史上的光辉成就之一。

宋元时期是中国传统数学发展的高峰时期，出现了一批数学大师，朱世杰就是其中的佼佼者。他撰写了两部经典的数学名著，其研究成果对当世和后世都有很重要的意义。这一时期的数学发展主流是方程理论，朱世杰的四元术无疑是方程理论发展的一个高峰。

朱世杰在总结数学理论的同时，也非常重视数学的普及。他的两部著作《算学启蒙》和《四元玉鉴》中的很多题目以及他们所体现的思想都与实际生活密切联系，这有助于数学的普及和发展。

在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中，朱世杰用歌谣和歌诀形式提出一些数学问题，这样既普及了数学知识，又为枯燥的数学增加了很多趣味性。这样的形式在以前的数学著作中是很少见的。这样的形式不仅对当代影响巨大，也影响到明代，虽然明代时数学逐渐衰落，但是朱世杰的歌谣形式却被明代数学家继承。他还创造了一套完整的消未知数的方法，即为四元消法。他将同解变换的算理蕴涵于四元消法之中，充分体现了朱世杰的转化思想。

《四元玉鉴》简要给出天元术、二元术、三元术、四元术的解题模式，并且成为全书的纲领；《算学启蒙》也给出了一整套数学概念和运算法则，作为全书的理论基础，都体现了朱世杰重视明算理的思想。