古代科学技术成就——别树一帜的中国数学

在世界古代数学中，古希腊欧几里得几何学的辉煌成就可说是家喻户晓，为人们所熟知了。但是，对于中国古代数学的成就，人们却知之甚少，或知之不详。其实，中国古代数学的成就同样是极其辉煌的，并对人类文明的发展做出了特殊的贡献。

首先，现在人们日常生活中所不可或离的十进位值制，就是中国的一大发明。至迟在商代时，中国已采用了十进位值制。从现已发现的商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等13个数字，（图17—1）记十万以内的任何自然数。这些记数文字的形状，在后世虽有所变化而成为现在的写法，但记数方法却从没有中断，一直被沿袭，并日趋完善。古巴比伦的记数法虽有位值制的意义，但它采用的是60进位的，计算非常烦琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且这些符号都是象形的，如用一只鸟表示十万。古希腊由于几何发达，因而轻视计算，记数方法落后，是用全部希腊字母来表示一到一万的数字，字母不够就用加符号“‘”等方法来补充。古罗马采用的是累积法，如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示，又有用累积法，到公元7世纪时方采用十进位值制，很可能受到中国的影响。现在通用的印度—阿拉伯数码和记数法，大约在10世纪时才传到欧洲。由此可见，十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。正如李约瑟所说的：“如果没有这种十进位制，就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

在计算数学方面，中国大约在商周时期已经有了四则运算，到春秋战国时期整数和分数的四则运算已相当完备。其中，出现于春秋时期的正整数乘法歌诀“九九歌”，堪称是先进的十进位记数法与简明的中国语言文字相结合之结晶，这是任何其他记数法和语言文字所无法产生的。从此，“九九歌”成为数学的普及和发展的基础之一，一直延续至今。其变化只是古代的“九九歌”从“九九八十一”开始，到“二二如四”止，而现在是由“一一如一”到“九九八十一”。

与此同时，中国发明了特有的计算工具和方法，即用“算筹”进行计算。“筹”是一些粗细、长短一样的小竹棍，也有用木或骨制成的，后来还有用铁等金属制作的。用算筹表示数目，有两种形式，即纵式和横式：

在表示数字时，用纵式代表个、百、万位的数，用横式代表十、千位的数，遇零则用空位表示，如此就可以用算筹摆出任何自然数。如1804，是。用算筹进行计算，叫做“筹算”。即通过算筹的摆列，进行加减乘除以至开平方、开立方等的运算，整数以后的奇零部分，则用分数表示。后来的“筹划”、“筹策”、“筹算”、“筹议”等常用词，都是由此演生和引申出来的。

正是在上述的基础上，中国古代数学以擅长计算著称于世，并逐步形成了自具特色的数学体系。《九章算术》一书是这个体系形成的重要标志。《九章算术》大约成书于公元1世纪中叶，是集战国和秦汉数学成就之大全的著名古算书。该书采用应用题集形式写成，共收入实际生产和生活中的数学问题246个，并给出答案。全书分为九章：

第一章“方田”，主要讲的是田亩面积的计算，包括分数的各种计算方法；

第二章“粟米”，讲各种比例问题，特别是关于各种谷物间按比例相互交换的计算方法；

第三章“衰分”，讲按等级分配物资或摊派税收的比例问题；

第四章“少广”，讲开平方、开立方的计算方法；

第五章“商功”，讲各种形状的体积的计算方法；

第六章“均输”，讲如何按人口、物价高低、路途远近等条件，以计算各地的赋税和分派工役等问题的计算方法；

第七章“盈不足”，即用假设的方法解决如下一类的问题：“今有（人）共买（物），（每）人出八（钱）盈余三（钱），（每）人出七（钱）不足四（钱），问人数、物价各几何？”这类问题，在《九章算术》中已有完整的解法；

第八章“方程”，是关于联立一次方程组普遍解法的叙述；

第九章“勾股”，主要是应用勾股定理和直角三角形相似的各种比例关系，测量和计算“高、深、广、远”的问题。

《九章算术》不仅有着一套较为完整的编写体例，形成了具有自己风格的数学体系，而且其数学水平处于当时世界的先进行列，其中一些成就还远远走在世界的前面。如“盈不足术”类似于现代“行列式解法”，它在欧洲至中世纪方以“双设法”的形式出现；欧洲直到16世纪时方得出类似一次联立方程组的普遍解法；“方程”章中已引入了负数的概念，并已产生和运用了正、负数的加减法则，而印度到7世纪以后，欧洲到16世纪以后，才产生比较明确的负数概念。

以《九章算术》为代表的中国数学体系，其特点是以解决社会实际问题为主要目的，以算筹为主要计算工具，以十进位值制的记数系统进行运算，其内容包括算术、代数、几何等各个方面。这个数学体系在其自身的发展历程中，逐步走向自己的高峰，呈现着久盛不衰的局势，并结下了累累的硕果。其中最为突出的成就有：

古代世界中最精确的圆周率，三国曹魏景元四年（263），著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了割圆术的新方法。（图17—2）他认为当圆内接正多边形的边数无限增加时，其周长即愈益逼近圆周长，“割之弥细，所失弥小。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。由此可以看到，刘徽已把极限的思想应用于圆周率的计算。刘徽应用割圆术，从圆内接正六边形算起，边数逐步加倍，直算至圆内接正192边形的面积，求得圆周率相当于3.1416），成为当时世界上最精确的圆周率数据。在实际应用中，他则主张采用（相当于3.14）。南朝的祖冲之继承了刘徽的工作，求出了精确到七位有效数字的圆周率：3.1415926<π<3.1415927。这一结果的得到，相当于应用算筹对九位数字的大数目进行各种运算（包括开方）130次以上，其劳动量之大是可以想象的。为了计算方便，祖冲之还求出了两个用分数表示圆周率的数据，一个是，称密率，这是分子、分母在一千以内表示圆周率的最佳渐近分数；另一个是，称约率。祖冲之求得的圆周率数据，远远地走在世界的前面，直至1000年后，阿拉伯数学家阿尔·卡西（al Kashi）于公元1427年，法国数学家维叶特（Viete）于公元1540—1603年间，才求出更精确的数据。而密率的求得，欧洲也是直至16世纪方达到的。

其他如隋代刘焯创立的“等间距二次内插法”；唐代一行的“不等间距二次内插法”，王孝通的三次方程解法；宋元时期的解三次以上方程的方法，高阶等差级数求和、联立一次同余式等等，也都在世界上领先数百年之久。而在明代广泛使用的珠算盘，更是几百年来最先进的一种计算工具，至今仍有一定的生命力。

如同古希腊注重几何证明而忽视计算一样，中国古代在数字计算方面相当发达，在实际生活中所遇到的几何问题，也都用算术或代数的方法进行解答，从而相对地限制了几何证明的发展。但这并不是说，中国古代就没有几何学。其中墨子在《墨经》中所提出的圆、直、点、线、面、体、平行等各种命题和概念，都可与欧几里得几何学的相关定理和命题媲美。勾股定理及其应用，制图工具规、矩的普遍使用，也都反映了中国古代在几何学方面有着相当的成就。当然，在实用计算数学的掩盖下，中国古代在几何学上没有在理性论证方面得到充分地发展；计算数学本身也在《九章算术》体例的影响下，一直采用习题问答的方式，没有加以很好地抽象、提高，使其更具理性化的程度，这不能不说是重大的缺陷。